素元分解整域造句

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単項イデアル整域は、素元分解整域である。
アイゼンシュタイン整数環は素元分解整域である。
したがって、ガウス整数環は素元分解整域である。
素元分解整域においては、逆に既約元は素元でもあるので、既約元と素元の両概念は一致する。
一般にユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域である。
整域Aの任意の元が素元の積として一意に分解するとき、Aを素元分解整域（UFD）と呼ぶ。
ガウス整数環の特筆すべき性質として、素元分解整域（一意分解環などともいう）であるという事実がある。
通常の割り算を考えれば、有理整数環も絶対値に関してユークリッド整域であるので、同様にして素元分解整域であることが示される。
既約分解が一意であるような環を素元分解整域もしくは一意分解環という（任意の元が素元の積に表せるなら、その表し方は一意である）。
実際、アイゼンシュタイン整数環はユークリッド整域であり、よって一般の環論より単項イデアル整域、さらには素元分解整域であることが従う。
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これらの環はユークリッド整域にもなっているが、一般にユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域になる。
一般に、ユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域であることの証明は、有理整数環やガウス整数環における証明をプロトタイプとしてほぼ同様に行える。
さらに、Xが局所分解的 (locally factorial)、すなわち、各点での局所環（座標環の任意の点に対応する素イデアルでの局所化）が素元分解整域になるようなスキームであるとする。
有理整数全体の成す環 Z や体上の多項式環 K[x] などは素元分解整域である（高校数学でいう多項式の"因数分解"とは、通常有理数体 Q 上の一変数多項式環における素元分解のことである）。